Propriétés de l'ensemble des nombres complexes de module 1

P roposition Stabilité de `\mathbb{U}` par produit et quotient

Pour tous  `z` et  `z'` appartenant à   `\mathbb{U}` , on a :

1. `zz' \in \mathbb{U}`

2. `\frac{1}{z} \in \mathbb{U}`

3. `\frac{z'}{z} \in \mathbb{U}`

Démonstration

Soit  `z` et  `z'` appartenant à `\mathbb{U}` , si bien que \(\left\vert z \right\vert =\left\vert z' \right\vert=1\) .

1. On a  \(\left\vert zz' \right\vert = \left\vert z \right\vert \times \left\vert z' \right\vert = 1 \times 1 = 1\) .

2. On a :
\(\left\vert \dfrac{1}{z} \right\vert = \dfrac{\left\vert 1 \right\vert}{\left\vert z \right\vert} = \dfrac{1}{1} = 1\) .

3. On a :
\(\left\vert \dfrac{z'}{z} \right\vert = \dfrac{\left\vert z' \right\vert}{\left\vert z \right\vert} = \dfrac{1}{1} = 1\)

Proposition
Pour tout  `z \in \mathbb{U}` , on a : `\frac{1}{z}=\overline{z}` .

Démonstration

Soit `z \in \mathbb{U}` . On a : \(z\overline{z}=\left\vert z \right\vert^2=1\) et donc \(\overline{z}=\dfrac{1}{z}\) .